Y Dull Nodweddion

Mae'r dull nodweddion yn rhan bwysig o'r cwrs; rydym wedi defnyddio'r dull i ddatrys hafaliadau differol rhannol llinol trefn un.

Manylion y dull

I ychwanegu at yr hyn rydych chi wedi gweld yn y darlithoedd, dyma rai fideos sy'n cynnwys enghreifftiau o'r cyfrifiadau. Fel yn y darlithoedd, maent wedi eu rhannu fel tri achos yn nhrefn cymhlethdod. Mae angen dull penodol gwahanol i bob achos, ond mae syniadau'r dulliau yn debyg (mewn gwirionedd mae achosion 1 a 2 yn achos arbennig o achos 3).

Achos 1: Cyfernodau cyson

Hwn yw'r achos \(au_x+bu_y=0\), lle mae

\[ a,b\in\mathbb{R}. \]

Dyma grynodeb o'r dull:

  • Ail-ysgrifennwch yr hafaliad differol rhannol yn y ffurf \((a,b)\cdot\nabla u=0\).

  • Adnabyddwch fod y mynegiad yma yn dweud bod y deilliad cyfeiriadol yn y cyfeiriad \((a,b)\) yn hafal i sero; felly mae \(u\) yn gyson yn y cyfeiriad yna.

  • Datryswch yr hafaliad differol cyffredin perthnasol er mwyn cael hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol - mi fyddant yn llinellau syth yn y gofod-\((x,y)\). Disgrifir pob llinell nodweddiadol gan gysonyn \(c\) (ei rhyngdoriad-\(y\)).

  • Gan fod \(u\) yn gyson ar hyd llinellau nodweddiadol, diddwythwch fod \(u=f(c)\), lle mae \(f\) yn ffwythiant sy'n ddibynnol ar un newidyn. Yna ysgrifennwch \(c\) yn nhermau \(x\) ac \(y\) trwy ad-drefnu'r hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol.

  • Yn olaf, defnyddiwch yr amodau ffin er mwyn darganfod y ffwythiant \(f\).

Achos 1 (Saesneg)

Achos 2: Cyfernodau newidiol

Hwn yw'r achos

\[ a(x,y)u_x+b(x,y)u_y=0, \]

lle mae \(a\) a \(b\) yn ffwythiannau o \(x\) ac \(y\). Dyma grynodeb o'r dull:

  • Ail-ysgrifennwch yr hafaliad differol rhannol yn y ffurf \((a(x,y),b(x,y))\cdot\nabla u=0\).

  • Adnabyddwch fod y mynegiad yma yn dweud bod y deilliad cyfeiriadol yn y cyfeiriad \((a(x,y),b(x,y))\) yn hafal i sero; felly mae \(u\) yn gyson yn y cyfeiriad yna.

  • Datryswch yr hafaliad differol cyffredin perthnasol er mwyn cael hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol - mi fyddant yn gromliniau go iawn yn hytrach na llinellau syth yn y gofod-\((x,y)\) yn yr achos cyfernodau newidiol yma.

  • Disgrifir pob llinell nodweddiadol gan gysonyn mympwyol \(c\).

  • Gan fod \(u\) yn gyson ar hyd llinellau nodweddiadol, diddwythwch fod \(u=f(c)\), lle mae \(f\) yn ffwythiant sy'n ddibynnol ar un newidyn. Yna ysgrifennwch\(c\) yn nhermau \(x\) ac \(y\) trwy ad-drefnu'r hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol

  • Yn olaf, defnyddiwch yr amodau ffin er mwyn darganfod y ffwythiant \(f\).

Achos 2 (Saesneg)

Achos 3: Yr achos cyffredinol

Hwn yw'r achos

\[ a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u=f(x,y), \]

lle mae \(a,b,c,f\) yn ffwythiannau o \(x\) ac \(y\) a hwn yw'r math mwyaf heriol yn dechnegol o'r broblemau sy'n defnyddio'r dull nodweddion byddwn ni'n ei ystyried. Dyma grynodeb o'r dull:

  • Rydym yn paramedru'r cromliniau nodweddiadol gan baramedr \(t\) (rwyf wedi sylwi bod rhai ohonoch ddim yn rhy hyderus gyda chromliniau wedi'u paramedru - mae hwn yn ymddangos yn ddolen da sy'n egluro beth mae paramedru cromlin yn ei olygu). Mae hyn yn cynnwys datrys yr hafaliadau differol cyffredin

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(x,y),\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=b(x,y), \]

gydag amodau ffin addas. Ar ôl y cam yma, mae gennym fynegiadau ar gyfer y cromliniau, gydag \(x\) ac \(y\) wedi'u rhoi fel ffwythiannau o \(t\) gyda paramedr ychwanegol, sef \(s\).

  • Adnabyddwch fod yr hafaliad differol rhannol yn lleihau i hafaliad differol cyffredin ar hyd y cromliniau yma.

  • Datryswch yr hafaliad differol cyffredin ar hyd y cromliniau nodweddiadaol.

  • Amnewidiwch yn ôl i'r cyfesurynnau gwreiddiol.

  • Yn olaf, defnyddiwch yr amodau ffin er mwyn darganfod y ffwythiant \(f\).

Achos 3 (Saesneg)